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2021年云南成人高考理科《數(shù)學》考點:奇偶性與單調(diào)性

云南成人高考網(wǎng) 發(fā)布時間:2021-03-20 11:53:07

       函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性是成人高考的重點和熱點內(nèi)容之一,特別是兩性質(zhì)的應用更加突出.本節(jié)主要幫助考生學會怎樣利用兩性質(zhì)解題,掌握基本方法,形成應用意識。


  ●難點磁場


  (★★★★★)已知偶函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),且f(2)=0,解不等式f[log2(x2+5x+4)]≥0.


  ●案例探究


  [例1]已知奇函數(shù)f(x)是定義在(-3,3)上的減函數(shù),且滿足不等式f(x-3)+f(x2-3)<0,設(shè)不等式解集為A,B=A∪{x|1≤x≤ },求函數(shù)g(x)=-3x2+3x-4(x∈B)的最大值.


  命題意圖:本題屬于函數(shù)性質(zhì)的綜合性題目,考生必須具有綜合運用知識分析和解決問題的能力,屬★★★★級題目.


  知識依托:主要依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)去解決問題.


  錯解分析:題目不等式中的“f”號如何去掉是難點,在求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題時,學生容易漏掉定義域.


  技巧與方法:借助奇偶性脫去“f”號,轉(zhuǎn)化為xcos不等式,利用數(shù)形結(jié)合進行集合運算和求最值.


  解:由 且x≠0,故0


  又∵f(x)是奇函數(shù),∴f(x-3)<-f(x2-3)=f(3-x2),又f(x)在(-3,3)上是減函數(shù),


  ∴x-3>3-x2,即x2+x-6>0,解得x>2或x<-3,綜上得2


  ∴B=A∪{x|1≤x≤ }={x|1≤x< },又g(x)=-3x2+3x-4=-3(x- )2- 知:g(x)在B上為減函數(shù),∴g(x)max=g(1)=-4.


  [例2]已知奇函數(shù)f(x)的定義域為R,且f(x)在[0,+∞)上是增函數(shù),是否存在實數(shù)m,使f(cos2θ-3)+f(4m-2mcosθ)>f(0)對所有θ∈[0, ]都成立?若存在,求出符合條件的所有實數(shù)m的范圍,若不存在,說明理由.


  命題意圖:本題屬于探索性問題,主要考查考生的綜合分析能力和邏輯思維能力以及運算能力,屬★★★★★題目.


  知識依托:主要依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性,利用等價轉(zhuǎn)化的思想方法把問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題.


  錯解分析:考生不易運用函數(shù)的綜合性質(zhì)去解決問題,特別不易考慮運用等價轉(zhuǎn)化的思想方法.


  技巧與方法:主要運用等價轉(zhuǎn)化的思想和分類討論的思想來解決問題.


  解:∵f(x)是R上的奇函數(shù),且在[0,+∞)上是增函數(shù),∴f(x)是R上的增函數(shù).于是不等式可等價地轉(zhuǎn)化為f(cos2θ-3)>f(2mcosθ-4m),


  即cos2θ-3>2mcosθ-4m,即cos2θ-mcosθ+2m-2>0.


  設(shè)t=cosθ,則問題等價地轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)=t2-mt+2m-2=(t- )2- +2m-2在[0,1]上的值恒為正,又轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)在[0,1]上的最小值為正.


  ∴當 <0,即m<0時,g(0)=2m-2>0 m>1與m<0不符;


  當0≤ ≤1時,即0≤m≤2時,g(m)=- +2m-2>0


  4-2


  當 >1,即m>2時,g(1)=m-1>0 m>1.∴m>2


  綜上,符合題目要求的m的值存在,其取值范圍是m>4-2 .


  ●錦囊妙計


  本難點所涉及的問題以及解決的方法主要有:


  (1)運用奇偶性和單調(diào)性去解決有關(guān)函數(shù)的綜合性題目.此類題目要求考生必須具有駕馭知識的能力,并具有綜合分析問題和解決問題的能力.


  (2)應用問題.在利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解決實際問題的過程中,往往還要用到等價轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想方法,把問題中較復雜、抽象的式子轉(zhuǎn)化為基本的簡單的式子去解決.特別是:往往利用函數(shù)的單調(diào)性求實際應用題中的最值問題.


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